เรียนรู้ปัญหาล้ำหน้าด้วย

ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์

คำพ้องความหมายในความหมายที่กว้างขึ้น

การเปลี่ยนแปลงบทเรียนคณิตศาสตร์บทเรียนเลขคณิตวิธีวิทยาคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ใหม่ dyscalculia จุดอ่อนเลขคณิต

คำนิยาม

คำว่าคณิตศาสตร์มาจากภาษากรีกคำว่า "mathema" และย่อมาจาก science อย่างไรก็ตามในปัจจุบันวิทยาศาสตร์มีความกว้างขวางมากขึ้นดังนั้นคำว่าคณิตศาสตร์จึงย่อมาจากศาสตร์แห่งการนับการวัดและการคำนวณรวมทั้งเรขาคณิต

บทเรียนคณิตศาสตร์จึงมีหน้าที่ในการสอนการนับการวัดเลขคณิตและพื้นฐานทางเรขาคณิตเพื่อให้เกิดความเข้าใจในเนื้อหา บทเรียนคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการเรียกร้องและส่งเสริมประสิทธิภาพเสมอ วิธีการพิเศษและการสนับสนุนเป็นสิ่งที่จำเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีความอ่อนแอในการคำนวณหรือแม้กระทั่ง dyscalculia

ประวัติศาสตร์

ในอดีตสิ่งที่สอนในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันได้รับการพัฒนาและกำหนดเพิ่มเติมมากว่าหลายศตวรรษ ต้นกำเนิดของเลขคณิตทั้งหมดสามารถพบได้ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาลทั้งในหมู่คนโบราณ ชาวอียิปต์ เช่นเดียวกับ ชาวบาบิโลน. ในช่วงแรกการคำนวณเป็นไปตามกฎอย่างเคร่งครัดโดยไม่ต้องตั้งคำถามว่าทำไม
การตั้งคำถามและการพิสูจน์เป็นส่วนประกอบที่มีอยู่จริงในสมัยของ ชาวกรีก กลายเป็นสิ่งสำคัญ ในช่วงเวลานี้มีการพยายามทำให้เลขคณิตง่ายขึ้นเป็นครั้งแรก พัฒนาเครื่องคำนวณ“ ABAKUS”

ใช้เวลานานมากจนสามารถเข้าถึงเลขคณิตได้โดยทั่วไปและในตอนแรกมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ได้รับอนุญาตให้เรียนรู้การอ่านเขียนและเลขคณิต โยฮันน์อามอสโคเมเนียส และความต้องการของเขาในการศึกษาโดยรวมสำหรับคนหนุ่มสาวทั้งสองเพศในศตวรรษที่ 17 สัญญาณแรกของการศึกษาสำหรับทุกคนก็ค่อยๆปรากฏขึ้น "Omnes, omnia, omnino: อัลเลนทุกอย่างโอบกอดทั้งหมด" เป็นคำขวัญของเขา
เนื่องจากอิทธิพลทางประวัติศาสตร์การดำเนินการตามข้อเรียกร้องของเขาจึงไม่สามารถทำได้ในตอนแรก อย่างไรก็ตามในที่นี้มีความชัดเจนว่าข้อกำหนดดังกล่าวส่งผลอย่างไร การเรียกร้องการศึกษาสำหรับทุกคนยังหมายถึงการเปิดโอกาสให้มีการศึกษาสำหรับทุกคน ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้คือการเปลี่ยนแปลงเกี่ยวกับการสอนความรู้ (ทางคณิตศาสตร์) สิ่งที่เรียกว่าการสอน แน่วแน่กับคำขวัญที่ว่า“ ความรู้ของครูจะทำอะไรให้ฉันได้ถ้าเขาไม่สามารถถ่ายทอดมันได้” ต้องใช้เวลานานก่อนที่คุณจะรู้ว่าคุณจะได้รับข้อมูลเชิงลึกและเข้าใจสถานการณ์เท่านั้นหากคุณทำงานในระดับอารมณ์ที่ต่างกัน ระดับที่ปฏิบัติต่อสถานการณ์ด้วยวิธีที่มีความหมายทางการสอน
นอกเหนือจากการถ่ายทอดความรู้แล้ว Kern และ Cuisenaire ได้ใช้กฎสไลด์แล้ว ภาพประกอบตัวเลขและวิธีการคำนวณ คิดค้น จาค็อบเฮเออร์ยังประดิษฐ์ในช่วงทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ 19 เพื่อวัตถุประสงค์ในการอธิบาย ตารางนับร้อยเพื่อแสดงช่วงตัวเลขและการดำเนินการตามด้วยวิธีอื่น ๆ ในการสร้างภาพ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Johann Heinrich Pestalozzi (พ.ศ. 1746-1827) พัฒนาบทเรียนเลขคณิตสมัยใหม่เพิ่มเติม สำหรับ Pestalozzi บทเรียนคณิตศาสตร์เป็นมากกว่าการประยุกต์ใช้วิธีการคำนวณแบบต่างๆ ความสามารถในการคิดควรได้รับการสนับสนุนและท้าทายผ่านบทเรียนคณิตศาสตร์ องค์ประกอบที่สำคัญหกประการกำหนดบทเรียนคณิตศาสตร์ของ Pestalozzi และแนวคิดของเขาเกี่ยวกับบทเรียนเลขคณิตที่ดี สินค้าเหล่านี้:

ชั้นเรียนคณิตศาสตร์เป็นจุดเน้นนั่นคือส่วนที่สำคัญที่สุดของทั้งชั้นเรียน
อุปกรณ์ช่วยในการมองเห็นที่เป็นรูปธรรมจากชีวิตประจำวัน (เช่นถั่วก้อนหินหินอ่อน ... ) เพื่อชี้แจงแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนและการดำเนินการ (ลบ = ลบ; บวก = เพิ่ม, แจกจ่าย = หาร, การรวมค่าเดียวกัน (เช่น 3 แพ็คของหก = 3 คูณ 6)
การคิดผ่านแทนที่จะใช้กฎที่ไม่เข้าใจ
การคิดเลขในใจเป็นระบบอัตโนมัติและส่งเสริมทักษะการคิด
การเรียนการสอนในชั้นเรียน
สอนเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ตามคติ: จากง่ายไปยาก.

ในศตวรรษที่ 20 พัฒนาสิ่งที่รู้จักกันในการเรียนการสอนว่าเป็นการปฏิรูปการสอน การเปลี่ยนแปลงตามแผนถูกแท็กด้วย “ ศตวรรษของเด็ก” หรือ. “ การเรียนการสอนตั้งแต่เด็ก” ขับเคลื่อนไปข้างหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Maria Montessori และ Ellen Kay จะถูกเอ่ยชื่อในเรื่องนี้ เด็กที่อ่อนแอกว่ายังได้รับการพิจารณาเป็นพิเศษ
คล้ายกับการพัฒนาวิธีการอ่านต่างๆ ดูจุดอ่อนในการอ่านและการสะกดคำ ที่นี่มีวิธีการคำนวณหลักสองวิธีซึ่งนำไปใช้อย่างครอบคลุมเฉพาะในบทเรียนหลังสงครามโลกครั้งที่สองเช่นโดยเฉพาะในช่วงทศวรรษที่ 50 ถึงกลางทศวรรษที่ 60 สินค้าเหล่านี้:

กระบวนการสังเคราะห์
กระบวนการแบบองค์รวม

วิธีการสังเคราะห์ของ Johannes Kühnel ถือว่าความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันเป็นไปได้ขึ้นอยู่กับอายุของเด็กและลำดับนี้สร้างขึ้นซึ่งกันและกัน เขารู้สึกว่ามุมมองเป็นช่วงเวลาที่สำคัญอย่างยิ่งในการถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์และการส่งเสริมจุดอ่อนทางคณิตศาสตร์ การท่องจำเพียงอย่างเดียวไม่ได้หมายความถึงความเข้าใจในความรู้ที่จะเรียนรู้ อุปกรณ์ช่วยในการมองเห็นที่จำเป็นคือแผ่นกระดาษหลายร้อยแผ่นซึ่งมีลักษณะคล้ายกับแผ่นกระดาษหลายร้อยแผ่นที่เด็ก ๆ ของเราใช้ในปีที่สองของโรงเรียน

ขั้นตอนแบบองค์รวมของ Johannes Wittmann ในทางกลับกันเริ่มแรกตัวเลข (1, 2, ... ) "ถูกเนรเทศ" ออกจากห้องเรียนและมองว่าการจัดการชุดและการพัฒนาแนวคิดชุดเป็นปัจจัยสำคัญและเป็นข้อกำหนดพื้นฐานสำหรับความสามารถในการพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับจำนวน การจัดลำดับ (การเรียงลำดับ) การจัดกลุ่ม (ตามสีตามวัตถุ ... ) และการจัดโครงสร้าง (เช่นการกำหนดลำดับจากปริมาณที่ไม่ได้เรียงลำดับ) เป็นส่วนหนึ่งของการจัดการกับปริมาณ
ซึ่งแตกต่างจากKühnelที่กำหนดความเข้าใจเนื้อหาทางคณิตศาสตร์แต่ละรายการสำหรับอายุของเด็ก Wittmann ถือว่าเข้าใจมากขึ้น ในกระบวนการแบบองค์รวมของ Wittmann เด็กสามารถนับได้ก็ต่อเมื่อมีการกำหนดแนวคิดเรื่องปริมาณ การเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ทำงานทีละขั้นตอนมีบทเรียนเลขคณิตทั้งหมด 23 ระดับ

ในขณะที่คนหนึ่งกำลังยุ่งอยู่กับการดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้ในโรงเรียนนวัตกรรมการสอนและการสอนก็กำลังพัฒนาอยู่โดยเฉพาะจากผลการวิจัยของนักจิตวิทยาชาวสวิส Jean Piagets (2439-2523) ได้รับการประกาศเกียรติคุณ

ฌองเพียเจต์

Jean Piagets (2439-2523) ทำงานที่สถาบัน Jean Jacques Rousseau ในเจนีวาโดยมีคำถามจากสาขาจิตวิทยาเด็กและวัยรุ่นตลอดจนสาขาการศึกษา มีสิ่งพิมพ์จำนวนมาก (ดูแถบแบนเนอร์ด้านขวา) ตามมา ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับชั้นเรียนคณิตศาสตร์ผลของ Piaget สามารถสรุปได้ดังนี้:

การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะต้องผ่านขั้นตอนต่าง ๆ ซึ่งเรียกว่าขั้นตอน
ขั้นตอนเหล่านี้สร้างต่อกันและบางครั้งสามารถโต้ตอบกันได้เนื่องจากขั้นตอนหนึ่งไม่ได้จบลงในชั่วข้ามคืนและขั้นตอนถัดไปจะเริ่มต้นขึ้น
การสร้างกันและกันหมายความว่าเป้าหมายของขั้นตอนที่เกิดขึ้นจะต้องบรรลุก่อนจึงจะเริ่มเฟสใหม่ได้
ข้อมูลอายุอาจแตกต่างกันไปโดยสามารถเปลี่ยนเวลาได้ประมาณ 4 ปี เหตุผลนี้คือโครงสร้างทางตรรกะไม่สามารถแก้ไขได้ (อย่างเพียงพอ) โดยเด็กทุกคนในวัยเดียวกัน
ในแต่ละระดับกระบวนการทำงานสองอย่างที่ขึ้นอยู่กันของการปรับตัวทางปัญญาให้เข้ากับสภาพแวดล้อมเป็นสิ่งที่สังเกตเห็นได้ชัดเจน: การดูดซึม (= การดูดซับเนื้อหาใหม่) และที่พัก (= การปรับพฤติกรรมผ่านการออกกำลังกายการทำให้เป็นภายในและการเจาะจิตใจ)

ขั้นตอนของการพัฒนาความรู้ความเข้าใจตาม Jean Piaget (1896-1980)

ขั้นตอนเซ็นเซอร์มอเตอร์
ตั้งแต่ 0 ถึง 24 เดือน

ทันทีหลังคลอดเด็กเพียงคนเดียวที่เชี่ยวชาญการตอบสนองอย่างง่ายซึ่งการกระทำที่ควบคุมโดยพลการพัฒนาขึ้น
ค่อยๆเด็กเริ่มรวมปฏิกิริยาตอบสนองกับผู้อื่น เด็กเมื่ออายุประมาณหกเดือนเท่านั้นที่มีสติตอบสนองต่อสิ่งเร้าภายนอก
เมื่ออายุประมาณแปดถึง 12 เดือนเด็กจะเริ่มแสดงเจตนา ตัวอย่างเช่นสามารถผลักวัตถุออกไปเพื่อคว้าวัตถุอื่นที่ต้องการได้ ในวัยนี้เด็กยังเริ่มแยกแยะระหว่างบุคคล คนแปลกหน้าถูกมองด้วยความสงสัยและปฏิเสธ (“ คนแปลกหน้า”)
ในหลักสูตรต่อไปเด็กจะเริ่มพัฒนาและมีส่วนร่วมกับสังคมมากขึ้นเรื่อย ๆ
ขั้นตอนก่อนการผ่าตัด
ตั้งแต่ 2 ถึง 7 ปี

การอบรมกิจกรรมทางปัญญามีความสำคัญมากขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไรก็ตามเด็กไม่สามารถใส่รองเท้าของคนอื่นได้ แต่มองว่าตัวเองเป็นศูนย์กลางและมุ่งเน้นไปที่ความสนใจทั้งหมด คนหนึ่งพูดถึงความคิดที่เป็นศูนย์กลาง (เกี่ยวกับอัตตา) ซึ่งไม่ได้อยู่บนพื้นฐานของตรรกะ ถ้า ... แล้ว ... - ตามกฎแล้วมันเป็นไปไม่ได้ที่จะเจาะลึกถึงผลที่ตามมา
ขั้นตอนของการดำเนินงานที่เป็นรูปธรรม
ตั้งแต่ 7 ถึง 11 ปี

ในขั้นตอนนี้เด็กจะพัฒนาความสามารถในการเจาะการเชื่อมต่อเชิงตรรกะครั้งแรกด้วยการรับรู้ที่เป็นรูปธรรม ตรงกันข้ามกับลัทธิเห็นแก่ตัวการกระจายอำนาจพัฒนาขึ้น นั่นหมายความว่าเด็กไม่เพียงมองว่าตัวเองเป็นจุดสนใจอีกต่อไป แต่ยังสามารถมองเห็นและแก้ไขข้อผิดพลาดหรือพฤติกรรมที่ไม่ถูกต้องได้อีกด้วย
ในความสัมพันธ์กับบทเรียนคณิตศาสตร์ความสามารถในการดำเนินการทางจิตกับวัตถุที่เป็นรูปธรรมมีความสำคัญมาก แต่สิ่งนี้ยังรวมถึงความสามารถในการมองย้อนกลับไปที่ทุกสิ่งในใจของคุณ (การย้อนกลับได้) จากมุมมองทางคณิตศาสตร์หมายความว่าตัวอย่างเช่นเด็กสามารถดำเนินการ (เช่นการเพิ่ม) และย้อนกลับได้โดยใช้การดำเนินการตอบโต้ (งานการผกผันการลบ)
ในการสืบสวนของเขาเพื่อสร้างผลข้างเคียงของการดำเนินการแต่ละครั้ง Piaget ได้ทำการทดลองที่มีจุดประสงค์เพื่อยืนยันทฤษฎีของเขา ความพยายามที่สำคัญซึ่งเกี่ยวข้องกับขั้นตอนนี้คือการถ่ายโอนของเหลวในปริมาณเท่ากันไปยังภาชนะที่มีขนาดต่างกัน ถ้าเติมของเหลวลงในแก้วกว้างประมาณ 200 มล. ขอบเติมจะลึกกว่าในแก้วทรงสูงแคบ ในขณะที่ผู้ใหญ่รู้ว่าปริมาณน้ำยังคงเท่าเดิมแม้จะมีทุกอย่าง แต่เด็กก็ตัดสินใจในช่วงก่อนการผ่าตัดว่ามีน้ำอยู่ในแก้วทรงสูงมากกว่า ในตอนท้ายของขั้นตอนของการดำเนินการเฉพาะควรชัดเจนว่ามีน้ำในแก้วทั้งสองเท่ากัน
ขั้นตอนของการดำเนินการอย่างเป็นทางการ
ตั้งแต่ 11 ถึง 16 ปี

ในขั้นตอนนี้เปิดใช้งานการคิดเชิงนามธรรม นอกจากนี้ในระยะนี้เด็ก ๆ จะคิดเกี่ยวกับความคิดได้ดีขึ้นเรื่อย ๆ และได้ข้อสรุปจากข้อมูลมากมาย

แต่ละขั้นตอนประกอบด้วยขั้นตอนการพัฒนาดังนั้นจึงสะท้อนถึงช่วงเวลาหนึ่ง ช่วงเวลาเหล่านี้อาจแตกต่างกันไปได้ถึงสี่ปีดังนั้นจึงไม่เข้มงวด แต่ละขั้นตอนสะท้อนให้เห็นถึงรากฐานทางจิตวิญญาณที่ได้มาถึงและเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาขั้นต่อไป

สำหรับการพัฒนาและการออกแบบบทเรียนคณิตศาสตร์ที่เน้นเด็กเป็นศูนย์กลางและการส่งเสริมปัญหาการเรียนรู้ที่เป็นมิตรกับเด็กผลของ Piaget มีผลกระทบบางประการ สิ่งเหล่านี้รวมอยู่ในคำสอนของ Wittmann และเรียกว่า“ วิธีการปฏิบัติแบบองค์รวม” ซึ่งพัฒนามาจากวิธีการแบบองค์รวม นอกจากนี้ยังมีนักการสอนที่พยายามนำผลการวิจัยของ Piaget ไปใช้โดยไม่รวมเข้ากับแนวคิดอื่น ๆ จากนี้จึงพัฒนา "วิธีการผ่าตัด"

หลังสงครามโลกครั้งที่ 2

หลายปีหลังจากสงครามโลกครั้งที่สองถูกทำเครื่องหมายโดยสงครามเย็นและการแข่งขันทางอาวุธระหว่างสหภาพโซเวียตและสหรัฐอเมริกาในขณะนั้น ตัวอย่างเช่นประเทศที่มุ่งเน้นทางตะวันตกรับรู้ข้อเท็จจริงที่ว่าสหภาพโซเวียตสามารถส่งดาวเทียมขึ้นสู่อวกาศก่อนที่สหรัฐอเมริกาจะเกิดความตกใจสิ่งที่เรียกว่า Sputnik shock ด้วยเหตุนี้ OECD จึงตัดสินใจที่จะปรับปรุงการสอนคณิตศาสตร์ให้ทันสมัยซึ่งจากนั้นได้ส่งต่อไปยังโรงเรียนในปี พ.ศ. 2511 โดยการประชุมรัฐมนตรีว่าการกระทรวงศึกษาธิการและกิจการวัฒนธรรม: ทฤษฎีเซตได้รับการนำมาใช้ในการสอนคณิตศาสตร์ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ความทันสมัยรวมถึง:

การนำทฤษฎีเซต
การรวมรูปทรงเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้น
ความเข้าใจในข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ควรมาก่อนการใช้กฎง่ายๆ
ของเล่นพัฒนาสมองและของเล่นพัฒนาสมองเพื่อเน้นคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "สร้างสรรค์"
เลขคณิตในระบบค่าสถานที่ต่างกัน (ระบบคู่)
สมการและอสมการในบทเรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูง
ทฤษฎีความน่าจะเป็นตรรกะ
การแก้ปัญหาโดยใช้แผนผังการคำนวณและแผนภาพลูกศร
...

นวัตกรรมเหล่านี้ยังไม่สามารถยืนยันตัวเองได้ในระยะยาว “ คณิตศาสตร์ของทฤษฎีเซต” ซึ่งเรียกกันแบบเรียกขานนั้นถูกวิพากษ์วิจารณ์ซ้ำแล้วซ้ำเล่าประเด็นหลักของการวิจารณ์คือมุมมองที่ว่าการใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์และการฝึกฝนถูกละเลย แต่สิ่งต่างๆที่ได้รับการฝึกฝนซึ่งบางครั้งก็มีความเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันเพียงเล็กน้อย "คณิตศาสตร์ใหม่" ถือว่าเป็นนามธรรมเกินไป ความจริงที่ไม่เหมาะกับเด็กที่คิดเลขไม่ดีเลย

คณิตศาสตร์วันนี้

ในปัจจุบันนี้ เราสามารถค้นหาแนวทางที่แตกต่างกันได้จากพัฒนาการของแต่ละบุคคลในบทเรียนคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น Piagets ความรู้พื้นฐานในการสอนคณิตศาสตร์ด้วย ยังคงมีความสำคัญอย่างยิ่งในปัจจุบัน. เป็นสิ่งสำคัญนอกเหนือจากข้อเท็จจริงทั้งหมดที่จะถ่ายทอดซึ่งหลักสูตรของโรงเรียนหรือแผนกรอบบังคับ - ให้ยึดตามลำดับของเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่งเรียนรู้ ตัวอย่างเช่นเด็กประถมกำลังอยู่ในขั้นตอนของการดำเนินงานที่เป็นรูปธรรมและในบางกรณีอาจอยู่ในขั้นตอนก่อนการผ่าตัดด้วย ที่นี่คือ สัญชาตญาณในการทำความเข้าใจมีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื้อหาใหม่ที่ต้องเรียนรู้ควรเป็นไปตามไฟล์ หลักการ E-I-S เจาะลึกเพื่อให้เด็กทุกคนมีความเข้าใจ

หลักการ E - I - S หมายถึง การเจาะเชิงรุก (แสดงด้วยวัสดุภาพ) สัญลักษณ์ (= การแสดงภาพ) และการเจาะเชิงสัญลักษณ์
สิ่งนี้ควรได้รับการชี้แจงที่นี่ - ขึ้นอยู่กับการเพิ่ม ความเข้าใจในการเพิ่มสามารถทำได้อย่างแข็งขันโดยใช้กระเบื้องตำแหน่งหินมักเกิ้ลหรือสิ่งที่คล้ายกัน เด็กเข้าใจว่าจำเป็นต้องเพิ่มบางอย่าง ถึงจำนวนเริ่มต้น 3 (กระเบื้อง, รถยนต์, หินมักเกิ้ล, ... ) เพิ่มวัตถุอีก 5 ชิ้นที่มีจำนวนเท่ากัน จะเห็นได้ว่าตอนนี้มี 8 ชิ้น (กระเบื้องวาง, รถยนต์, หินมักเกิ้ล, ... ) และยืนยันสิ่งนี้โดยการนับ
การเจาะที่เป็นสัญลักษณ์จะถูกโอนไปยังระดับภาพ ตอนนี้มันวาดงานเป็นวงกลมในหนังสือแบบฝึกหัด:

0 0 0 + 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0 = แผ่นตำแหน่ง, ... )

นอกจากนี้ยังสามารถใช้รูปภาพของการเจาะที่ใช้งานอยู่ (ภาพรถยนต์ ฯลฯ ) ได้ การโอนจะเกิดขึ้นเมื่อมีการเพิ่มตัวเลข: 3 + 5 = 8
โครงสร้างที่เป็นระบบและการลดมุมมองทีละน้อยเป็นประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับเด็กที่มีปัญหาในการจับเนื้อหาใหม่ นอกจากนี้ยังเป็น ปรีชา ตามกฎทั่วไป สำหรับเด็กทุกคนในการทำให้เป็นภายใน เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ สำคัญ

อาจมีเด็ก (ที่มีจุดอ่อนทางคณิตศาสตร์หรือแม้กระทั่งดิสเล็กเซีย) ที่เปลี่ยนจากระดับที่มีความกระตือรือร้นเป็นระดับสัญลักษณ์ทันที นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่เด็ก ๆ จะสามารถคิดเชิงปฏิบัติการอย่างเป็นทางการได้ตั้งแต่เริ่มต้น หนึ่งในเหตุผลนี้คือไฟล์ ขั้นตอนการพัฒนาโดยไม่เข้มงวด แต่การเปลี่ยนแปลงนั้นอาจเกิดขึ้นได้ถึงสี่ปี เป็นหน้าที่ของครูที่จะต้องค้นหาว่าเด็กแต่ละคนอยู่ในระดับใดและเพื่อปรับทิศทางบทเรียนให้สอดคล้องกัน